В треугольнике ABC угол В равен 36°, AB = BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD – равнобедренный.

Дано:

• Треугольник ABC
• AB = BC
• AD — биссектриса угла A

Доказать: Треугольник ABD — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC.
   По условию AB = BC, значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
   Углы при основании равны: .
2. Найдем углы треугольника ABC.
   Сумма углов в треугольнике равна 180°.
3. Угол при вершине B равен 36°.
   
4. Сумма углов при основании AC:
   
5. Углы при основании AC:
   
   
6. AD — биссектриса угла A.
   Биссектриса делит угол пополам.
   
7. Рассмотрим треугольник ABD.
   Нам нужно доказать, что он равнобедренный, то есть что два его угла равны. Мы уже знаем один угол: . Если мы найдем и он окажется равным , то треугольник ABD будет равнобедренным.
8. Найдем угол ADB.
   Угол ADB является внешним углом треугольника ADC. Нет, это не так. Угол ADB является углом треугольника ABD.
9. Найдем угол ADB, используя треугольник ABD:
   
   
   
10. Сравним углы треугольника ABD:
    
11. Так как , то треугольник ABD является равнобедренным с основанием BD.

Что и требовалось доказать.