Постройте график функции y = x² + 2x + 3 при x ≥ −3; y = x + 9 при x < −3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

При \(x\ge -3\): \(y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Это часть параболы с вершиной \((-1;2)\), причём её значения принимают все значения \(y\ge2\).

При \(x<-3\): \(y=x+9\), поэтому \(y<6\). Точка \((-3;6)\) этому участку не принадлежит.

Прямая \(y=m\) пересекает параболу:

• при \(m<2\) — 0 раз;
• при \(m=2\) — 1 раз;
• при \(m>2\) — 2 раза, если обе точки имеют абсциссы не меньше \(-3\).

Для линейной части пересечение есть при \(m<6\), причём оно единственное.

Чтобы всего было две общие точки, возможны два случая: парабола даёт две точки, а прямая — ни одной: \(m\ge6\); либо парабола даёт одну точку в области \(x\ge-3\), а линейная часть — одну: это \(m=2\). В остальных случаях число пересечений не равно двум.

Ответ: \(m=2\) или \(m\ge6\).