Постройте график функции y = (x²+6,25)(x-1) / (1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим выражение для функции: \( y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{1-x} \). Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \). Тогда: \( y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{-(x-1)} \).
2. При \( x \neq 1 \), мы можем сократить \( (x-1) \): \( y = -(x^2 + 6.25) = -x^2 - 6.25 \).
3. Таким образом, графиком функции является парабола \( y = -x^2 - 6.25 \) с выколотой точкой при \( x = 1 \).
4. Найдем значение \( y \) для выколотой точки: \( y = -(1)^2 - 6.25 = -1 - 6.25 = -7.25 \). Выколотая точка: \( (1; -7.25) \).
5. Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \) и найдём, при каких \( k \) она имеет ровно одну общую точку с параболой \( y = -x^2 - 6.25 \) (исключая случай, когда общая точка — выколотая).
6. Приравняем уравнения: \( kx = -x^2 - 6.25 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + kx + 6.25 = 0 \).
7. Для того, чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку, дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю: \( D = k^2 - 4 · 1 · 6.25 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k^2 - 25 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k^2 = 25 \) \( \Rightarrow \) \( k = 5 \) или \( k = -5 \).
8. Проверим, не является ли точка пересечения выколотой при \( k = 5 \) или \( k = -5 \).
9. Если \( k = 5 \), то \( x^2 + 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{-5 ± \sqrt{0}}{2} = -2.5 \). Точка пересечения: \( (-2.5; -12.5) \). Эта точка не выколота.
10. Если \( k = -5 \), то \( x^2 - 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{5 ± \sqrt{0}}{2} = 2.5 \). Точка пересечения: \( (2.5; -12.5) \). Эта точка не выколота.
11. Рассмотрим случай, когда прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку \( (1; -7.25) \). Подставим координаты точки в уравнение прямой: \( -7.25 = k · 1 \) \( \Rightarrow \) \( k = -7.25 \). В этом случае прямая будет иметь одну общую точку с графиком (выколотую точку).

Ответ: k = 5, k = -5, k = -7.25.