Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=28, АС=56, точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD,…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Обозначим \( ∠BAC = α \). В \( ΔABC \) по теореме косинусов найдем \( BC^2 \). Нам не хватает угла B или C, или стороны BC.
  2. Рассмотрим свойство центра описанной окружности. В равнобедренном треугольнике, если \( AB = 28 \) и \( AC = 56 \), то \( AC = 2AB \).
  3. Если \( ∠B = 90^\circ \), то \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) \( \Rightarrow \) \( 56^2 = 28^2 + BC^2 \) \( \Rightarrow \) \( BC^2 = 56^2 - 28^2 = (56-28)(56+28) = 28 · 84 = 28 · 28 · 3 = (28√3)^2 \). \( BC = 28√3 \).
  4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы \( AC \). То есть, \( O \) — середина \( AC \).
  5. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 56 = 28 \).
  6. Прямая \( BD \) перпендикулярна \( AO \). Так как \( AO \) лежит на \( AC \), то \( BD ⊥ AC \). \( BD \) — высота прямоугольного треугольника \( ABC \).
  7. Найдем площадь \( ∆ABC \) через катеты: \( S = \frac{1}{2} AB · BC = \frac{1}{2} · 28 · 28√3 = 14 · 28√3 = 392√3 \).
  8. Найдем площадь \( ∆ABC \) через основание \( AC \) и высоту \( BD \): \( S = \frac{1}{2} AC · BD = \frac{1}{2} · 56 · BD = 28 BD \).
  9. Приравняем площади: \( 28 BD = 392√3 \) \( \Rightarrow \) \( BD = \frac{392√3}{28} = 14√3 \).
  10. В прямоугольном треугольнике \( ABD \) (так как \( BD ⊥ AC \)), катеты \( AB = 28 \) и \( BD = 14√3 \).
  11. Найдем \( AD \) по теореме Пифагора: \( AD^2 = AB^2 - BD^2 = 28^2 - (14√3)^2 = 784 - (196 · 3) = 784 - 588 = 196 \). \( AD = √196 = 14 \).
  12. Так как \( AC = AD + DC \), то \( DC = AC - AD = 56 - 14 = 42 \).

Ответ: 42