1. Постройте график функции $$y=\frac{4x-5}{4x^2-5x}$$ Определите, при каких значениях k прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить функцию.
2. Найти точки разрыва.
3. Определить условия, при которых прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим функцию: $$y = \frac{4x-5}{4x^2-5x} = \frac{4x-5}{x(4x-5)}$$ При $$4x-5
   eq 0$$, то есть при $$x
   eq \frac{5}{4}$$, можно сократить дробь: $$y = \frac{1}{x}$$ Таким образом, график функции $$y = \frac{4x-5}{4x^2-5x}$$ совпадает с графиком $$y = \frac{1}{x}$$ за исключением точки $$x = \frac{5}{4}$$.
2. Найдем точки разрыва:
   • $$x = 0$$ - вертикальная асимптота.
   • $$x = \frac{5}{4}$$ - точка разрыва (выколотая точка).
3. Прямая $$y = kx$$ имеет с графиком $$y = \frac{1}{x}$$ ровно одну общую точку, если уравнение $$kx = \frac{1}{x}$$ имеет единственное решение. $$kx^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{k}$$
   • Если $$k > 0$$, то $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$. Два решения.
   • Если $$k = 0$$, то $$0 = \frac{1}{x}$$. Решений нет.
   • Если $$k < 0$$, то решений нет.
4. Но у нас есть выколотая точка в $$x = \frac{5}{4}$$. Проверим, при каких значениях k прямая $$y = kx$$ проходит через эту точку. $$y(\frac{5}{4}) = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$$ $$kx = \frac{4}{5}$$ $$k(\frac{5}{4}) = \frac{4}{5}$$ $$k = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$$
   • При $$k = \frac{16}{25}$$ прямая проходит через выколотую точку, и у нас остается только одно пересечение.

Ответ: $$k = \frac{16}{25}$$