4. Постройте график функции $$y = \frac{(0,5x^2+2x)\cdot|x|}{x+4}$$ Определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотреть функцию для двух случаев: $$x \geq 0$$ и $$x < 0$$.
2. Упростить функцию в каждом случае.
3. Найти точки разрыва.
4. Определить условия, при которых прямая $$y = m$$ не имеет с графиком общих точек.

Решение:

1. Рассмотрим два случая:
   • Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = \frac{(0,5x^2+2x)x}{x+4} = \frac{0,5x^3+2x^2}{x+4} = \frac{0,5x^2(x+4)}{x+4} = 0,5x^2$$.
   • Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = \frac{(0,5x^2+2x)(-x)}{x+4} = \frac{-0,5x^3-2x^2}{x+4} = \frac{-0,5x^2(x+4)}{x+4} = -0,5x^2$$.
2. Таким образом, функция имеет вид: $$y = \begin{cases} 0,5x^2, & x \geq 0 \\ -0,5x^2, & x < 0 \end{cases}$$ Функция совпадает с графиком $$y = \pm 0.5x^2$$ за исключением точки $$x = -4$$.
3. Найдем точки разрыва:
   • $$x = -4$$ - точка разрыва (выколотая точка).
4. Найдем координату y выколотой точки: $$y(-4) = -0.5(-4)^2 = -0.5(16) = -8$$
   • То есть, в точке $$x = -4$$ функция не определена, и график имеет разрыв в точке $$(-4; -8)$$.
5. Прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через точку разрыва.

Ответ: $$m = -8$$