22 Постройте график функции y = |x|x + 2|x| - 3x. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x|x + 2|x| - 3x$$. 1. Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = x \cdot x + 2x - 3x = x^2 - x$$. 2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = -x \cdot x - 2x - 3x = -x^2 - 5x$$. Таким образом, функция имеет вид: $$y = \begin{cases} x^2 - x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases}$$ Построим график данной функции. Для $$x \geq 0$$: $$y = x^2 - x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$. Соответственно, $$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$. Для $$x < 0$$: $$y = -x^2 - 5x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2}$$. Соответственно, $$y_v = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4}$$. Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол или через точку (0, 0). В нашем случае, $$m = -\frac{1}{4}$$ или $$m = \frac{25}{4}$$, или $$m = 0$$. Ответ: $$\textbf{-\frac{1}{4}}; \textbf{0}; \textbf{\frac{25}{4}}$$