Постройте график функции y = |x(x + 1) - 6x|. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\[y = |x(x + 1) - 6x| = |x^2 + x - 6x| = |x^2 - 5x| = |x(x - 5)|\]

Рассмотрим функцию без модуля:

\[f(x) = x(x - 5) = x^2 - 5x\]

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

\[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2} = 2.5\] \[y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25\]

Теперь учтем модуль. Модуль отображает часть графика, находящуюся ниже оси x, симметрично вверх.

Найдем нули функции:

\[x(x - 5) = 0\] \[x = 0, x = 5\]

Построим график функции y = |x(x - 5)|.

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину параболы после отображения модуля или через ось x.

Вершина параболы после отображения модуля имеет координаты (2.5, 6.25). Значит, m = 6.25.

Также прямая y = m имеет две общие точки, когда m = 0 (ось x).

Ответ: m = 0, m = 6.25