Постройте график функции y = x²-|4x+1|/. Определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика функции y = x² - |4x + 1|, рассмотрим два случая:

1. 4x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ -1/4. В этом случае |4x + 1| = 4x + 1, и функция имеет вид: y = x² - (4x + 1) = x² - 4x - 1.
2. 4x + 1 < 0, то есть x < -1/4. В этом случае |4x + 1| = -(4x + 1), и функция имеет вид: y = x² - (-4x - 1) = x² + 4x + 1.

Найдем вершину каждой параболы:

1. Для y = x² - 4x - 1: x_верш = -(-4) / (2*1) = 2, y_верш = 2² - 4*2 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5
2. Для y = x² + 4x + 1: x_верш = -4 / (2*1) = -2, y_верш = (-2)² + 4*(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3

Определим значение функции в точке x = -1/4:

y = (-1/4)² + 4*(-1/4) + 1 = 1/16 - 1 + 1 = 1/16

Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через:

1. Вершину одной из парабол и точку с координатой x = -1/4.

Таким образом, m = -3 или m = 1/16.

<canvas id="chart1" width="400" height="400"></canvas>
<script>
var ctx = document.getElementById('chart1').getContext('2d');
var chart1 = new Chart(ctx, {
type: 'line',
data: {
labels: [-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5],
datasets: [{
label: 'y = x² - |4x+1|',
data: [6, 1, -2, -3, -2, -1, -4, -5, -4, -1, 6],
borderColor: 'blue',
borderWidth: 2,
fill: false
}, {
label: 'y = -3',
data: [-3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3],
borderColor: 'red',
borderWidth: 1,
borderDash: [5, 5],
fill: false
}, {
label: 'y = 0.0625',
data: [0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625, 0.0625],
borderColor: 'green',
borderWidth: 1,
borderDash: [5, 5],
fill: false
}]
},
options: {
scales: {
x: {
display: true,
title: {
display: true,
text: 'x'
}
},
y: {
display: true,
title: {
display: true,
text: 'y'
}
}
}
}
});
</script>

Ответ: m = -3; m = 1/16