Постройте график функции y = x²-|4x+5|. Определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - |4x + 5|$$.

Определим, когда подмодульное выражение $$4x + 5$$ больше или равно нулю:

$$4x + 5 \ge 0$$

$$4x \ge -5$$

$$x \ge -\frac{5}{4}$$

Тогда функцию можно записать следующим образом:

$$y = \begin{cases} x^2 - (4x + 5), & \text{если } x \ge -\frac{5}{4} \\ x^2 - (-4x - 5), & \text{если } x < -\frac{5}{4} \end{cases}$$

$$y = \begin{cases} x^2 - 4x - 5, & \text{если } x \ge -\frac{5}{4} \\ x^2 + 4x + 5, & \text{если } x < -\frac{5}{4} \end{cases}$$

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

1. $$y = x^2 - 4x - 5$$

Это парабола, ветви направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$$

$$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Вершина параболы: $$(2; -9)$$

Найдем нули функции:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

2. $$y = x^2 + 4x + 5$$

Это парабола, ветви направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$y_v = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$

Вершина параболы: $$(-2; 1)$$

Найдем нули функции:

$$x^2 + 4x + 5 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$

Т.к. дискриминант меньше нуля, то нулей нет.

Функция $$y = x^2 + 4x + 5$$ не имеет нулей.

Теперь необходимо определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Это произойдет, когда прямая y = m пройдет через вершину одной из парабол.

Вершина первой параболы: (2; -9), но т.к. x >= -5/4, то эта точка не подходит.

Вершина второй параболы: (-2; 1), т.к. x < -5/4, то эта точка подходит.

Значит, при m = 1 прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 1