Постройте график функции y={ x²+4x+4 при х≥-5, 45 X при х<-5 и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком одну или две общие точки.

Рассмотрим функцию:\[y = \begin{cases} x^2 + 4x + 4, & x \ge -5 \\ \frac{45}{x}, & x < -5 \end{cases}\]

Первая часть: \[y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\] - это парабола с вершиной в точке (-2, 0). Вторая часть: \[y = \frac{45}{x}\] - это гипербола.

Рассмотрим значения функции в точке стыка x = -5. Для параболы: y = (-5 + 2)^2 = (-3)^2 = 9. Для гиперболы: y = 45 / (-5) = -9. Таким образом, в точке x = -5 функция разрывная.

Построим график (описание):

• Парабола (x + 2)^2 определена для x ≥ -5. Ветви направлены вверх, вершина в (-2, 0).
• Гипербола 45/x определена для x < -5. Функция убывает на этом интервале.

Рассмотрим прямую y = m. Нас интересует количество точек пересечения с графиком функции.

• При m < 0 прямая y = m пересекает только гиперболу в одной точке.
• При m = 0 прямая y = 0 (ось x) пересекает параболу в одной точке (-2, 0), но не пересекает гиперболу.
• При 0 < m < 9 прямая y = m пересекает параболу в двух точках и гиперболу в одной точке.
• При m = 9 прямая y = 9 пересекает параболу в одной точке (x = -5) и не пересекает гиперболу.
• При m > 9 прямая y = m пересекает параболу в двух точках и не пересекает гиперболу.

Прямая y = m имеет с графиком одну общую точку при m < 0 и m = 0.

Прямая y = m имеет с графиком две общие точки при m > 0 и m ≠ 9

Проверка за 10 секунд: Представьте график и прямую y=m и визуально оцените количество точек пересечения при различных значениях m.

Читерский прием: Всегда полезно нарисовать график функции, чтобы визуально оценить поведение функции и количество точек пересечения с прямой!