При каких целых значениях \(m\) значение выражения \(-\dfrac{m^2+3m+5}{m+3}\) является целым числом?

Область допустимых значений: \(m\ne-3\). Разложим числитель, выделив множитель \(m+3\):

\(-\dfrac{m^2+3m+5}{m+3}=-\dfrac{m(m+3)+5}{m+3}=-m-\dfrac{5}{m+3}\).

При целом \(m\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(m+3\) — целый делитель числа 5. Следовательно, \(m+3\in\{-5,-1,1,5\}\), откуда \(m\in\{-8,-4,-2,2\}\).

Ответ: \(m=-8,-4,-2,2\).