6. При каких значениях a дробь √a-√5/a-5 принимает наибольшее значение?

Рассмотрим дробь $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{a-5}$$.

Представим знаменатель в виде разности квадратов:

$$a - 5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})$$

Тогда дробь можно записать как:

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{a-5} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$$

Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение $$\sqrt{a} + \sqrt{5}$$ достигается при наименьшем значении $$\sqrt{a}$$. Так как $$a$$ должно быть неотрицательным (из-за корня), то наименьшее значение $$\sqrt{a}$$ равно $$0$$, но тогда дробь не определена. Ближайшее значение к нулю, при котором дробь определена, это когда $$\sqrt{a}=\sqrt{5}$$, т.е. $$a=5$$, но опять же, дробь не определена.

Однако, рассмотрим предел при a, стремящемся к 5:

$$\lim_{a \to 5} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$

Так как функция $$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$$ убывает с ростом a, то наибольшее значение дроби достигается при наименьшем возможном значении a, большем или равном 5. Однако, функция не определена при a = 5.

Ответ: Дробь принимает наибольшее значение при значениях a, стремящихся к 5.