При каких значениях а сумма дробей rac{a² + 11}{a² - a - 2} и rac{a - 3}{a + 1} равна rac{a + 1}{a - 2}?

Решение уравнения с дробями

Чтобы найти значения a, при которых сумма двух дробей равна третьей, нужно привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители

• Знаменатель первой дроби: a² - a - 2. Найдем корни уравнения a² - a - 2 = 0. Дискриминант D = (-1)² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9. Корни: a₁ = (1 + 3)/2 = 2, a₂ = (1 - 3)/2 = -1. Значит, a² - a - 2 = (a - 2)(a + 1).
• Знаменатель второй дроби: a + 1.
• Знаменатель третьей дроби: a - 2.

Шаг 2: Определяем общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей (a - 2)(a + 1), (a + 1) и (a - 2) будет (a - 2)(a + 1).

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Исходное уравнение:

rac{a² + 11}{(a - 2)(a + 1)} + rac{a - 3}{a + 1} = rac{a + 1}{a - 2}

Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на (a - 2), а третьей — на (a + 1):

rac{a² + 11}{(a - 2)(a + 1)} + rac{(a - 3)(a - 2)}{(a + 1)(a - 2)} = rac{(a + 1)(a + 1)}{(a - 2)(a + 1)}

rac{a² + 11}{(a - 2)(a + 1)} + rac{a² - 2a - 3a + 6}{(a - 2)(a + 1)} = rac{a² + a + a + 1}{(a - 2)(a + 1)}

rac{a² + 11}{(a - 2)(a + 1)} + rac{a² - 5a + 6}{(a - 2)(a + 1)} = rac{a² + 2a + 1}{(a - 2)(a + 1)}

Шаг 4: Приравниваем числители (при условии, что знаменатель не равен нулю)

a ≠ 2 и a ≠ -1.

a² + 11 + a² - 5a + 6 = a² + 2a + 1

Шаг 5: Решаем полученное уравнение

2a² - 5a + 17 = a² + 2a + 1

2a² - a² - 5a - 2a + 17 - 1 = 0

a² - 7a + 16 = 0

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

• D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 16 = 49 - 64 = -15

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), квадратное уравнение a² - 7a + 16 = 0 не имеет действительных корней.

Ответ: Нет таких значений a.