При каких значениях х имеет смысл выражение: a) √(2 – x)(3x + 7,5); б) 1 / √(x² + 18x + 81) ?

a) Выражение √(2 – x)(3x + 7,5) имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть (2 – x)(3x + 7,5) ≥ 0.

Решим неравенство (2 – x)(3x + 7,5) ≥ 0.

Найдем корни уравнения (2 – x)(3x + 7,5) = 0.

2 – x = 0 или 3x + 7,5 = 0.

x = 2 или 3x = -7,5, то есть x = -2,5.

Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней точки -2,5 и 2. Расставим знаки на полученных интервалах.

    -       +       -
---(-2.5)---(2)---->

Решением неравенства является отрезок [-2,5; 2].

б) Выражение 1 / √(x² + 18x + 81) имеет смысл, когда подкоренное выражение положительно, то есть x² + 18x + 81 > 0.

Заметим, что x² + 18x + 81 = (x + 9)².

(x + 9)² > 0 выполняется для всех x, кроме x = -9, так как квадрат любого числа положителен, кроме нуля.

Ответ: a) [-2,5; 2]; б) x ≠ -9