4 При каких значениях х имеет смысл выражение: a) √(2 – x)(3x + 7,5); б) 1 / √x²+ 18x + 81 ?

a) $$\sqrt{(2 - x)(3x + 7.5)}$$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$(2 - x)(3x + 7.5) \ge 0$$

Найдем нули функции $$(2 - x)(3x + 7.5) = 0$$:

$$2 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 2$$

$$3x + 7.5 = 0 \Rightarrow 3x = -7.5 \Rightarrow x_2 = -2.5$$

Отметим нули на числовой прямой и определим знаки функции на каждом интервале:

    -       +       -
----(-2.5)----(2)---->

Решением неравенства $$(2 - x)(3x + 7.5) \ge 0$$ является интервал, где функция неотрицательна:

$$x \in [-2.5; 2]$$.

б) $$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 18x + 81}}$$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение положительно:

$$x^2 + 18x + 81 > 0$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2$$

Неравенство принимает вид:

$$(x + 9)^2 > 0$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме $$x = -9$$.

$$x \in (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty)$$.

Ответ: a) $$x \in [-2.5; 2]$$; б) $$x \in (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty)$$.