Решите неравенство: a) 3x² – 2x – 8 < 0; 6) x² - 16x + 64 ≤ 0; в) 7х - x² < 0.

Решим каждое неравенство по отдельности.

a) $$3x^2 - 2x - 8 < 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$3x^2 - 2x - 8 = 0$$:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$

Неравенство можно переписать в виде $$3(x - 2)(x + \frac{4}{3}) < 0$$, или $$(x - 2)(x + \frac{4}{3}) < 0$$.

Решением неравенства является интервал $$\left(-\frac{4}{3}; 2\right)$$.

б) $$x^2 - 16x + 64 ≤ 0$$

$$x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2$$

Неравенство можно переписать как $$(x - 8)^2 ≤ 0$$.

Так как квадрат числа всегда неотрицателен, неравенство выполняется только при $$x = 8$$.

в) $$7x - x^2 < 0$$

$$x(7 - x) < 0$$

Решим уравнение $$x(7 - x) = 0$$. Корни уравнения: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 7$$.

Метод интервалов: $$(-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$$.

Ответ: a) $$\left(-\frac{4}{3}; 2\right)$$; б) $$x = 8$$; в) $$(-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$$.