6. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решим уравнение: rac{x^2 - (7 - 3a)x - 21a}{\sqrt{x^2-x-2}} = 0 Уравнение имеет смысл, если: x² - x - 2 > 0 Найдем корни квадратного уравнения x² - x - 2 = 0. D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 x₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 x₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1 Таким образом, x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1) > 0. Решением данного неравенства является интервал (-∞; -1) ∪ (2; +∞). Теперь решим уравнение: x² - (7 - 3a)x - 21a = 0 Чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен 0. D = (7 - 3a)² - 4 * 1 * (-21a) = 49 - 42a + 9a² + 84a = 9a² + 42a + 49 9a² + 42a + 49 = 0 (3a + 7)² = 0 3a + 7 = 0 a = -7/3 Подставим a = -7/3 в уравнение x² - (7 - 3a)x - 21a = 0: x² - (7 - 3*(-7/3))x - 21*(-7/3) = 0 x² - (7 + 7)x + 49 = 0 x² - 14x + 49 = 0 (x - 7)² = 0 x = 7 Так как x = 7 принадлежит интервалу (-∞; -1) ∪ (2; +∞), то при a = -7/3 уравнение имеет единственное решение. Теперь рассмотрим случай, когда уравнение имеет два корня, но один из них не удовлетворяет условию x ∈ (-∞; -1) ∪ (2; +∞). x² - (7 - 3a)x - 21a = 0 D = (7 - 3a)² + 84a = 9a² + 42a + 49 x₁ = (7 - 3a + \sqrt{9a^2 + 42a + 49}) / 2 = (7 - 3a + |3a + 7|) / 2 x₂ = (7 - 3a - \sqrt{9a^2 + 42a + 49}) / 2 = (7 - 3a - |3a + 7|) / 2 Если 3a + 7 > 0, то a > -7/3, и: x₁ = (7 - 3a + 3a + 7) / 2 = 14 / 2 = 7 x₂ = (7 - 3a - 3a - 7) / 2 = -6a / 2 = -3a x₁ = 7 всегда является решением, так как 7 > 2. Чтобы x₂ не был решением, должно выполняться одно из условий: -3a ∈ [-1; 2] -1 ≤ -3a ≤ 2 1 ≥ 3a ≥ -2 1/3 ≥ a ≥ -2/3 -2/3 ≤ a ≤ 1/3 Если 3a + 7 < 0, то a < -7/3, и: x₁ = (7 - 3a - 3a - 7) / 2 = -6a / 2 = -3a x₂ = (7 - 3a + 3a + 7) / 2 = 14 / 2 = 7 Чтобы x₁ не был решением, должно выполняться условие: -3a ∈ [-1; 2] -1 ≤ -3a ≤ 2 1 ≥ 3a ≥ -2 1/3 ≥ a ≥ -2/3 -2/3 ≤ a ≤ 1/3 Но это противоречит условию a < -7/3. Теперь рассмотрим случай, когда x = -1 является корнем уравнения. Тогда: (-1)² - (7 - 3a)(-1) - 21a = 0 1 + 7 - 3a - 21a = 0 8 - 24a = 0 24a = 8 a = 1/3 В этом случае x₂ = -3a = -1, что не является решением. Ответ: a = -7/3