5. При каких значениях т можно представить в виде квадрата двучлена выражение: a) x²+mx+9; 6) x²-2x-m; в) тх²-12x+9; r) x²-x+m?

Для того чтобы трехчлен был квадратом двучлена, необходимо, чтобы он имел вид $$(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$$ или $$(ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2$$.

a) $$x^2 + mx + 9$$: Здесь $$a^2 = 1$$, значит $$a = 1$$. $$b^2 = 9$$, значит $$b = 3$$. Тогда $$2ab = 2(1)(3) = 6$$. Следовательно, $$m = \pm 6$$.

б) $$x^2 - 2x - m$$: Здесь $$a^2 = 1$$, значит $$a = 1$$. $$2ab = 2$$, значит $$b = 1$$. Тогда $$b^2 = 1$$. Следовательно, $$-m = -1$$, то есть $$m = -1$$, а должно быть $$m=1$$. Выражение не будет квадратом двучлена ни при каком m.

в) $$mx^2 - 12x + 9$$: Здесь $$b^2 = 9$$, значит $$b = 3$$. $$2ab = 12$$, значит $$2(\sqrt{m})(3) = 12$$, откуда $$6\sqrt{m} = 12$$, или $$\sqrt{m} = 2$$. Следовательно, $$m = 4$$. Тогда $$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$.

г) $$x^2 - \frac{2}{7}x + m$$: Здесь $$a^2 = 1$$, значит $$a = 1$$. $$2ab = \frac{2}{7}$$, значит $$2(1)(b) = \frac{2}{7}$$, откуда $$b = \frac{1}{7}$$. Тогда $$b^2 = (\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$$. Следовательно, $$m = \frac{1}{49}$$.

Ответ: a) $$m = \pm 6$$, б) такого m нет, в) $$m = 4$$, г) $$m = \frac{1}{49}$$.