4 При каких значениях x имеет смысл выражение: a) √(5 – 4x)(x + 1); б) \frac{1}{\sqrt{x² - 8x + 16}} ?

a) √(5 – 4x)(x + 1)

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

(5 – 4x)(x + 1) ≥ 0

Найдем нули функции (5 – 4x)(x + 1) = 0:

5 – 4x = 0 или x + 1 = 0

4x = 5 или x = -1

x = 1,25 или x = -1

Отметим точки -1 и 1,25 на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞; -1), (-1; 1,25), (1,25; +∞).

• На интервале (-∞; -1) возьмем x = -2. Тогда (5 – 4(-2))(-2 + 1) = (5 + 8)(-1) = -13 < 0.
• На интервале (-1; 1,25) возьмем x = 0. Тогда (5 – 4(0))(0 + 1) = (5)(1) = 5 > 0.
• На интервале (1,25; +∞) возьмем x = 2. Тогда (5 – 4(2))(2 + 1) = (5 – 8)(3) = -9 < 0.

Неравенство (5 – 4x)(x + 1) ≥ 0 выполняется на отрезке [-1; 1,25].

Ответ: [-1; 1.25]

б) \frac{1}{\sqrt{x² - 8x + 16}}

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение положительно, так как находится в знаменателе:

x² - 8x + 16 > 0

(x - 4)² > 0

x ≠ 4

Неравенство выполняется для всех x, кроме x = 4.

Ответ: (-∞; 4) ∪ (4; +∞)