Решите неравенство методом интервалов: a) (x + 4)(x – 6,5) > 0; б) \frac{5x+1}{x-2} < 0.

a) (x + 4)(x – 6,5) > 0

Найдем нули функции (x + 4)(x – 6,5) = 0.

x + 4 = 0 или x – 6,5 = 0

x = -4 или x = 6,5

Отметим точки -4 и 6,5 на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞; -4), (-4; 6,5), (6,5; +∞).

• На интервале (-∞; -4) возьмем x = -5. Тогда (-5 + 4)(-5 – 6,5) = (-1)(-11,5) = 11,5 > 0.
• На интервале (-4; 6,5) возьмем x = 0. Тогда (0 + 4)(0 – 6,5) = (4)(-6,5) = -26 < 0.
• На интервале (6,5; +∞) возьмем x = 7. Тогда (7 + 4)(7 – 6,5) = (11)(0,5) = 5,5 > 0.

Неравенство (x + 4)(x – 6,5) > 0 выполняется на интервалах (-∞; -4) и (6,5; +∞).

Ответ: (-∞; -4) ∪ (6,5; +∞)

б) \frac{5x+1}{x-2} < 0

Найдем нули числителя: 5x + 1 = 0

5x = -1

x = -0,2

Найдем нули знаменателя: x - 2 = 0

x = 2

Отметим точки -0,2 и 2 на числовой прямой. Точка -0,2 входит в решение, а точка 2 - нет, так как знаменатель не может быть равен 0. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞; -0,2), (-0,2; 2), (2; +∞).

• На интервале (-∞; -0,2) возьмем x = -1. Тогда \frac{5(-1)+1}{-1-2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} > 0.
• На интервале (-0,2; 2) возьмем x = 0. Тогда \frac{5(0)+1}{0-2} = \frac{1}{-2} = -0,5 < 0.
• На интервале (2; +∞) возьмем x = 3. Тогда \frac{5(3)+1}{3-2} = \frac{16}{1} = 16 > 0.

Неравенство \frac{5x+1}{x-2} < 0 выполняется на интервале (-0,2; 2).

Ответ: (-0.2; 2)