При каком значении х значения выражений 3х – 2, х + 2 и х + 8 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Ответ: x = 8, члены прогрессии: 22, 10, 16

Решение:

Шаг 1: Так как 3x - 2, x + 2 и x + 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии, то выполняется следующее условие:

• \frac{x + 2}{3x - 2} = \frac{x + 8}{x + 2}

Шаг 2: Решаем уравнение:

• (x + 2)² = (3x - 2)(x + 8)
• x² + 4x + 4 = 3x² + 24x - 2x - 16
• x² + 4x + 4 = 3x² + 22x - 16
• 2x² + 18x - 20 = 0
• x² + 9x - 10 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• D = 9² - 4 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121
• x₁ = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1
• x₂ = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10

Шаг 4: Проверим полученные значения x:

• Если x = 1, то члены прогрессии: 3 \cdot 1 - 2 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 8 = 9. Прогрессия: 1, 3, 9 (q = 3)
• Если x = -10, то члены прогрессии: 3 \cdot (-10) - 2 = -32, -10 + 2 = -8, -10 + 8 = -2. Прогрессия: -32, -8, -2 (q = \frac{1}{4})

Ответ: x = 8, члены прогрессии: 22, 10, 16