При каком значении m система уравнений не имеет решений? \(\begin{cases} 3x + y + 4 = 0 \\ x - my - 8 = 0 \end{cases}\)

Решение:

Система линейных уравнений вида \(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}\) не имеет решений, если выполняется условие:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

В нашей системе:

• \( a_1 = 3 \), \( b_1 = 1 \), \( c_1 = 4 \)
• \( a_2 = 1 \), \( b_2 = -m \), \( c_2 = 8 \)

Применим условие для отсутствия решений:

1. \(\frac{3}{1} = \frac{1}{-m}\)
2. \(3 = \frac{1}{-m}\)
3. \(3(-m) = 1 \)
4. \(-3m = 1 \)
5. \(m = -\frac{1}{3} \)
6. Теперь проверим вторую часть условия: \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
7. \(\frac{3}{1} \neq \frac{4}{8} \)
8. \(3 \neq \frac{1}{2} \). Это условие выполняется.

Следовательно, система не имеет решений при \( m = -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( m = -\frac{1}{3} \).