Решите задачу. Настя и мама приготовили 110 пельменей, причем Настя работала 2 часа, а мама 3 часа. Сколько пельменей делала каждая за 1 час, если Настя за 3 часа сделала на 9 пельменей больше, чем мама за 2 часа?

Решение:

Пусть \( x \) — количество пельменей, которое готовила Настя за 1 час, а \( y \) — количество пельменей, которое готовила мама за 1 час.

1. Из условия задачи составим систему уравнений:
   • Общее количество пельменей: \( 2x + 3y = 110 \)
   • Разница в количестве приготовленных пельменей: \( 3x - 2y = 9 \)
2. Решим систему уравнений способом подстановки или сложения. Воспользуемся способом подстановки. Выразим \( x \) из второго уравнения:
3. \( 3x = 9 + 2y \)
4. \( x = \frac{9 + 2y}{3} \)
5. Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:
6. \( 2\left(\frac{9 + 2y}{3}\right) + 3y = 110 \)
7. Умножим обе части уравнения на \( 3 \), чтобы избавиться от знаменателя:
8. \( 2(9 + 2y) + 9y = 330 \)
9. Раскроем скобки:
10. \( 18 + 4y + 9y = 330 \)
11. Приведём подобные слагаемые:
12. \( 18 + 13y = 330 \)
13. Перенесём \( 18 \) в правую часть:
14. \( 13y = 330 - 18 \)
15. \( 13y = 312 \)
16. Найдем \( y \):
17. \( y = \frac{312}{13} \)
18. \( y = 24 \)
19. Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 24 \) в выражение для \( x \):
20. \( x = \frac{9 + 2(24)}{3} \)
21. \( x = \frac{9 + 48}{3} \)
22. \( x = \frac{57}{3} \)
23. \( x = 19 \)

Ответ: Настя готовила 19 пельменей в час, а мама — 24 пельменя в час.