Припишите к данному выражению такой двучлен, чтобы получить многочлен можно было разложить на множители способом группировки, и выполните разложение на множители:

Решение:

Чтобы разложить многочлен способом группировки, нужно добавить такой двучлен, чтобы после него можно было сгруппировать члены и вынести общий множитель.

а) \( cx + dx + ac \)

Добавим двучлен \( ad \).

\( cx + dx + ac + ad = (cx + dx) + (ac + ad) = x(c + d) + a(c + d) = (c + d)(x + a) \)

б) \( y^2 - ay + ad \)

Добавим двучлен \( -y^2 \).

\( y^2 - ay + ad - y^2 = (y^2 - ay) + (ad - y^2) \)

Этот вариант не подходит, попробуем добавить \( -dy \).

\( y^2 - ay + ad - dy = (y^2 - ay) + (ad - dy) = y(y - a) + d(a - y) = y(y - a) - d(y - a) = (y - a)(y - d) \)

в) \( ab - b - ay \)

Добавим двучлен \( +ay \).

\( ab - b - ay + ay = (ab - b) + (-ay + ay) = b(a - 1) + 0 = b(a - 1) \)

Этот вариант не подходит, попробуем добавить \( -a^2 \).

\( ab - b - ay - a^2 \)

Попробуем добавить \( +a \).

\( ab - b - ay + a = (ab - b) + (-ay + a) = b(a - 1) + a(1 - y) \)

Этот вариант не подходит. Добавим \( -a \).

\( ab - b - ay - a = (ab - a) + (-b - ay) = a(b - 1) - (b + ay) \)

Это не работает. Попробуем изменить порядок членов.

\( ab - ay - b + a \)

\( (ab - ay) + (-b + a) = a(b - y) + (a - b) \)

Это не работает. Попробуем добавить \( +y \).

\( ab - b - ay + y = (ab - b) + (-ay + y) = b(a - 1) + y(1 - a) = b(a - 1) - y(a - 1) = (a - 1)(b - y) \)

г) \( x^2 - ab + bx \)

Добавим двучлен \( -ax \).

\( x^2 - ab + bx - ax = (x^2 + bx) + (-ab - ax) = x(x + b) - a(b + x) = (x + b)(x - a) \)

Ответ:

а) \( cx + dx + ac + ad \) = \( (c + d)(x + a) \)

б) \( y^2 - ay + ad - dy \) = \( (y - a)(y - d) \)

в) \( ab - b - ay + y \) = \( (a - 1)(b - y) \)

г) \( x^2 - ab + bx - ax \) = \( (x + b)(x - a) \)