Признаки параллелограмма. 3. Рис. 106. Если AC ∩ BD = O и BO = OD, AO = OC, то ABCD — параллелограмм.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Значит, точка O — середина каждой диагонали: диагонали параллелограмма должны делиться точкой пересечения пополам.

Докажем, что противоположные стороны попарно параллельны. В треугольниках AOB и COD: AO = OC, BO = OD, а ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO, следовательно, AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Так как обе пары противоположных сторон параллельны, ABCD — параллелограмм.