4. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника AMD, если BC: AD = 3: 4, а площадь трапеции равна 14 см².

Обозначим площадь треугольника \(BCM\) как \(S_{BCM}\), а площадь треугольника \(AMD\) как \(S_{AMD}\). Поскольку \(BC \parallel AD\), треугольники \(BCM\) и \(ADM\) подобны. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответственных сторон: \[k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}\] Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{BCM}}{S_{AMD}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\] Пусть \(S_{BCM} = 9x\), тогда \(S_{AMD} = 16x\). Площадь трапеции \(ABCD\) равна разности площадей треугольников \(AMD\) и \(BCM\): \[S_{ABCD} = S_{AMD} - S_{BCM}\]\[14 = 16x - 9x\]\[14 = 7x\]\[x = 2\] Теперь найдем площадь треугольника \(AMD\): \[S_{AMD} = 16x = 16 \cdot 2 = 32\] Ответ: Площадь треугольника AMD равна 32 см².