4. Проводят серию из 4-х испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 0,8. Найдите вероятность того, что 1 или 2 из них окажутся успешными.

Ответ: 0.2816

Вероятность k успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле: \[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}\] где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) – биномиальный коэффициент. В нашем случае: n = 4 (количество испытаний) p = 0.8 (вероятность успеха в одном испытании) Найдем вероятность одного успеха (k = 1): \[P(X = 1) = C_4^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (1 - 0.8)^{4-1}\] \[P(X = 1) = 4 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^3 = 4 \cdot 0.8 \cdot 0.008 = 0.0256\] Найдем вероятность двух успехов (k = 2): \[P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (1 - 0.8)^{4-2}\] \[P(X = 2) = \frac{4!}{2!2!} \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^2 = 6 \cdot 0.64 \cdot 0.04 = 0.1536\] Вероятность того, что будет 1 или 2 успеха: \[P(X = 1 \text{ или } X = 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0256 + 0.1536 = 0.1792\]

Ответ: 0.1792