745 2/ 746 2 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точ- ке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, ar= 12 см. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точ- ках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точ- ки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

745 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, ar= 12 см.

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• Прямая АВ касается окружности в точке В.
• OB = r = 12 см (радиус).
• ∠AOB = 60°.

Найти: АВ

Решение:

Так как АВ - касательная к окружности, то ОВ перпендикулярна АВ (свойство касательной).

Треугольник ОВА - прямоугольный, где ОА - гипотенуза, ОВ и АВ - катеты.

tg(∠AOB) = AB / OB

AB = OB * tg(∠AOB)

AB = 12 * tg(60°) = 12 * √3 ≈ 20,78 см

Ответ: AB ≈ 20,78 см.

746 Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

Доказательство:

Так как МА и МВ - касательные к окружности, то ОА перпендикулярна МА и ОВ перпендикулярна МВ (свойство касательной).

∠MAO = ∠MBO = 90°

Четырехугольник AOBM является описанным, и сумма противоположных углов равна 180°.

∠AOB + ∠AMB = 180°

∠AOB = 180° - ∠AMB

Так как точка С симметрична точке О относительно точки В, то точка В является серединой отрезка ОС.

ОВ = ВС = r (радиус)

∠MBC = ∠BMC (треугольник МВС равнобедренный, так как МВ = ВС = r)

В треугольнике МВО: ∠MBO = 90°, следовательно, ∠BOM + ∠BMO = 90°

∠BMO = ∠BMC

∠BOM = 90° - ∠BMC

∠AOB = 2 * ∠BOM = 2 * (90° - ∠BMC) = 180° - 2∠BMC

Следовательно, ∠AMB = 2∠BMC

∠AMC = ∠AMB + ∠BMC = 2∠BMC + ∠BMC = 3∠BMC

Ответ: доказано.