2. Прямая MN пересекает боковые стороны равнобедренного треугольника АВС в точках М и N. Найдите угол BMD, если ∠BND = 140°, ∠A = 40°.

Дано: ΔABC - равнобедренный, AB = BC, MN - прямая, ∠BND = 140°, ∠A = 40°.

Найти: ∠BMD.

Решение:

Так как ΔABC - равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. ∠A = ∠C = 40°.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 40° = 100°.

∠BND и ∠BNC - смежные, следовательно, ∠BNC = 180° - ∠BND = 180° - 140° = 40°.

Рассмотрим ΔBNC: ∠BNC = 40°, ∠C = 40°, следовательно, ∠NBC = 180° - ∠BNC - ∠C = 180° - 40° - 40° = 100°.

Тогда ∠ABM = ∠ABC - ∠NBC = 100° - 100° = 0° - что невозможно.

Следовательно, прямая MN пересекает сторону BC в точке D, а сторону AB в точке M. Угол ∠BND - внешний угол треугольника BNC, ∠A = 40°.

Угол ∠BMD и ∠BND - смежные, следовательно, ∠BMD = 180° - ∠BND = 180° - 140° = 40°.

Ответ: ∠BMD = 40°.