Прямая ОК перпендикулярна к плоскости треугольника АВС и проходит через центр О этого треугольника, ОК= 10 см, угол КСО-30°. Найдите расстояние от точки К до каждой из вершин треугольника.

Дано: ОК перпендикулярна плоскости ABC, O - центр треугольника ABC, OK = 10 см, угол KCO = 30°.

Найти: KA, KB, KC.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник KOC. Так как OK перпендикулярна плоскости ABC, то угол KOC = 90°. Угол KCO = 30° по условию. Следовательно:

$$KC = \frac{OK}{sin(30°)} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20 \text{ см}$$

2) Так как O - центр треугольника ABC, то OA = OB = OC = R, где R - радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC.

3) Рассмотрим прямоугольные треугольники KOA, KOB и KOC. У них общий катет OK = 10 см, и OA = OB = OC. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Значит, KA = KB = KC.

$$KA = KB = \sqrt{OK^2 + OA^2}$$

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник KOC:

$$OC = \sqrt{KC^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см}$$

$$KA = KB = KC = \sqrt{OK^2 + OA^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$

Ответ: KA = KB = KC = 20 см.