6*. Прямая, параллельная основаниям МР и NK трапеции MNPK, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если МР = 24 см, NK = 16 см.

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции MNPK. Т.к. AB проходит через O и параллельна основаниям, то AO = BO. Обозначим AB = x. Рассмотрим треугольники MNP и AON. Они подобны (AB || MP). Тогда:

\(\frac{AO}{MP} = \frac{NO}{NP}\)

Аналогично, треугольники NKP и ABO подобны:

\(\frac{BO}{NK} = \frac{PO}{PK}\)

Так как AO = BO, то:

\(\frac{x}{2MP} + \frac{x}{2NK} = 1 \)

\(\frac{x}{48} + \frac{x}{32} = 1 \)

\(2x+3x = 96 \)

\(x = \frac{96}{5} =19.2 \)

Ответ: Длина отрезка AB равна 19.2 см.