Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и СД в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=25, BC = 15, CF: DF=3: 2.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC - основания. Прямая EF параллельна основаниям и пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F. Дано: AD = 25, BC = 15, CF:DF = 3:2. Требуется найти длину отрезка EF. Пусть CF = 3x, DF = 2x. Тогда CD = CF + DF = 3x + 2x = 5x. Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, до пересечения с AD в точке G. Тогда AG = BC = 15, и GD = AD - AG = 25 - 15 = 10. Заметим, что \(\frac{CF}{CD} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\). Тогда \(\frac{DF}{CD} = \frac{2}{5}\). Теперь рассмотрим треугольник CGD. Точка F лежит на CD, и через F проведена прямая, параллельная CG, до пересечения с GD в точке H. Тогда \(\frac{DH}{GD} = \frac{DF}{DC} = \frac{2}{5}\), и DH = \(\frac{2}{5}\) * GD = \(\frac{2}{5}\) * 10 = 4. Также рассмотрим отрезок AH = AD - DH = 25 - 4 = 21. Тогда EH = BC + \(\frac{CF}{CD}\)(AD - BC) = 15 + (\(\frac{3}{5}\))(25 - 15) = 15 + \(\frac{3}{5}\) * 10 = 15 + 6 = 21. Следовательно, EF = BC + \(\frac{DF}{DC}\)(AD - BC) = 15 + \(\frac{2}{5}\)(25 - 15) = 15 + \(\frac{2}{5}\) * 10 = 15 + 4 = 19. Ответ: 19