№2 Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС=21, MN=14. Площадь треугольника АВС равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.

Пусть площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC}$$, а площадь треугольника MBN равна $$S_{MBN}$$. Поскольку MN параллельна AC, треугольники ABC и MBN подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон, то есть:

$$k = \frac{MN}{AC} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$$

Тогда отношение площадей:

$$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Известно, что $$S_{ABC} = 27$$. Найдем $$S_{MBN}$$.

$$\frac{S_{MBN}}{27} = \frac{4}{9}$$ $$S_{MBN} = \frac{4}{9} \times 27$$ $$S_{MBN} = 4 \times 3$$ $$S_{MBN} = 12$$

Ответ: 12