8 Прямая у 5х- 8 является касательной к графику функции y = 6x2 + bx +16. Найдите в, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Ответ:

Прямая $$y = 5x - 8$$ является касательной к графику функции $$y = 6x^2 + bx + 16$$. Найдите $$b$$, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Для начала найдем производную функции:

$$y' = (6x^2 + bx + 16)' = 12x + b$$

Приравняем угловые коэффициенты касательной и производной:

$$5 = 12x + b$$

$$x = \frac{5-b}{12}$$

Найдем значение функции в точке касания:

$$y(\frac{5-b}{12}) = 6(\frac{5-b}{12})^2 + b(\frac{5-b}{12}) + 16$$

Найдем значение касательной в точке касания:

$$y(\frac{5-b}{12}) = 5(\frac{5-b}{12}) - 8$$

Приравняем значения функции и касательной в точке касания:

$$6(\frac{5-b}{12})^2 + b(\frac{5-b}{12}) + 16 = 5(\frac{5-b}{12}) - 8$$

$$6(\frac{25 - 10b + b^2}{144}) + \frac{5b - b^2}{12} + 16 = \frac{25 - 5b}{12} - 8$$

$$\frac{25 - 10b + b^2}{24} + \frac{10b - 2b^2}{24} + \frac{384}{24} = \frac{50 - 10b}{24} - \frac{192}{24}$$

$$25 - 10b + b^2 + 10b - 2b^2 + 384 = 50 - 10b - 192$$

$$-b^2 + 409 = -10b - 142$$

$$b^2 - 10b - 551 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 - 4 * 1 * (-551) = 100 + 2204 = 2304$$

$$b_1 = \frac{10 + \sqrt{2304}}{2} = \frac{10 + 48}{2} = 29$$

$$b_2 = \frac{10 - \sqrt{2304}}{2} = \frac{10 - 48}{2} = -19$$

Найдем абсциссу точки касания:

$$x_1 = \frac{5 - 29}{12} = \frac{-24}{12} = -2$$

$$x_2 = \frac{5 - (-19)}{12} = \frac{24}{12} = 2$$

По условию абсцисса точки касания больше 0, значит подходит только $$b_2 = -19$$.

Ответ: -19