5. Прямая $y = -4x - 11$ является касательной к графику функции $y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6$. Найдите абсциссу точки касания.

Пусть $x_0$ - абсцисса точки касания. Тогда: 1) Значение функции в точке касания равно значению касательной в этой точке: $x_0^3 + 7x_0^2 + 7x_0 - 6 = -4x_0 - 11$ 2) Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: $y'(x) = 3x^2 + 14x + 7$ $3x_0^2 + 14x_0 + 7 = -4$ Решим второе уравнение: $3x_0^2 + 14x_0 + 11 = 0$ $D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 196 - 132 = 64$ $x_{01} = \frac{-14 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ $x_{02} = \frac{-14 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 8}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}$ Подставим найденные значения в первое уравнение: 1) $x_0 = -1$: $(-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 7 - 6 = -7$ $-4(-1) - 11 = 4 - 11 = -7$ Равенство выполняется. 2) $x_0 = -\frac{11}{3}$: $(-\frac{11}{3})^3 + 7(-\frac{11}{3})^2 + 7(-\frac{11}{3}) - 6 = -\frac{1331}{27} + \frac{847}{9} - \frac{77}{3} - 6 = \frac{-1331 + 2541 - 693 - 162}{27} = \frac{355}{27}$ $-4(-\frac{11}{3}) - 11 = \frac{44}{3} - \frac{33}{3} = \frac{11}{3} = \frac{99}{27}$ Равенство не выполняется. Таким образом, абсцисса точки касания $x_0 = -1$. Ответ: -1