Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: AB = BC = 16 дм, AA₁ = 7 дм. Найти площадь сечения AKPC, где K — середина B₁A₁, а P — середина B₁C₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), C(16; 16; 0), A₁(0; 0; 7), B₁(16; 0; 7), C₁(16; 16; 7). Тогда K(8; 0; 7), P(16; 8; 7).

Разобьём сечение диагональю AP на треугольники AKP и APC.

Для треугольника AKP: \(\overrightarrow{AK}=(8;0;7)\), \(\overrightarrow{AP}=(16;8;7)\). Площадь равна половине длины векторного произведения:

\(S_{AKP}=\frac12\sqrt{(-56)^2+56^2+64^2}=36\sqrt2\text{ дм}^2.\)

Для треугольника APC: \(\overrightarrow{AP}=(16;8;7)\), \(\overrightarrow{AC}=(16;16;0)\), поэтому

\(S_{APC}=\frac12\sqrt{(-112)^2+112^2+128^2}=72\sqrt2\text{ дм}^2.\)

Ответ: \(S_{AKPC}=108\sqrt2\text{ дм}^2.\)