Задача № 7. Равносторонний треугольник ABC перпендикулярен прямоугольнику ACKM. Найти расстояние от точки B до стороны KM, если BC = 8 см, а S₍ACKM₎ = 56 см².

В прямоугольнике ACKM стороны AC и KM параллельны, а расстояние между ними равно стороне прямоугольника, перпендикулярной AC. Поскольку треугольник ABC перпендикулярен плоскости прямоугольника и имеет общее ребро AC, высота треугольника из B к AC также перпендикулярна плоскости прямоугольника.

Шаг 1. Так как ABC равносторонний и BC = 8 см, то AC = 8 см. Высота равностороннего треугольника равна \(\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3\) см.

Шаг 2. Из площади прямоугольника получаем \(56=AC\cdot AK=8\cdot AK\), значит, \(AK=7\) см. Это расстояние между параллельными прямыми AC и KM.

Шаг 3. Проекция B на плоскость прямоугольника лежит на AC; расстояние от неё до KM равно 7 см. Высота треугольника к AC перпендикулярна этой плоскости, поэтому расстояние от B до KM:

\(d=\sqrt{7^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{49+48}=\sqrt{97}\) см.

Ответ: \(\sqrt{97}\) см.