Задача № 9. BO — перпендикуляр к плоскости, BA и BC — наклонные к плоскости, OA и OC — их проекции, причём OA = 3OC. Найдите расстояние от точки B до плоскости, если BA = 10√2 см, BC = 6√2 см.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим искомое расстояние \(BO=h\), а \(OC=x\). Тогда \(OA=3x\). По теореме о трёх перпендикулярах для прямоугольных треугольников BOA и BOC:

\(BA^2=h^2+(3x)^2\), \(BC^2=h^2+x^2\).

Подставим длины: \(200=h^2+9x^2\), \(72=h^2+x^2\).

Вычтем второе равенство из первого: \(128=8x^2\), откуда \(x^2=16\). Тогда \(h^2=72-16=56\), поэтому \(h=2\sqrt{14}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{14}\) см.