Задача № 8. Точка P равноудалена от сторон квадрата ABCD со стороной 5√2 см. Найдите расстояние от точки P до вершин квадрата, если расстояние от точки P до плоскости квадрата равно 12 см.

Пусть O — проекция точки P на плоскость квадрата. Расстояния от P до всех сторон одинаковы. Для любой стороны расстояние в квадрате равно сумме квадратов высоты над плоскостью квадрата и расстояния от O до этой стороны. Поэтому расстояния от O до всех четырёх сторон равны, а значит, O — центр квадрата.

Шаг 1. Диагональ квадрата со стороной \(5\sqrt2\) см равна \(5\sqrt2\cdot\sqrt2=10\) см. Расстояние от центра до вершины — половина диагонали, то есть 5 см.

Шаг 2. Высота точки P над плоскостью квадрата равна 12 см. По теореме Пифагора расстояние до любой вершины:

\(PA=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\) см.

Ответ: 13 см до каждой вершины.