10. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Рассмотрим рисунок. 1. Так как треугольник прямоугольный и вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см. 2. Радиус окружности равен половине диаметра. Так как диаметр является гипотенузой прямоугольного треугольника, то радиус равен половине гипотенузы: $$r = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$$ см. Ответ: 6.5 см