3. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из катетов, образуется конус. В данном случае вращение происходит вокруг меньшего катета (6 см). Следовательно:

- Высота конуса \(h\) равна 6 см.
- Радиус основания конуса \(r\) равен 8 см.

Сначала найдем образующую конуса \(l\) (гипотенузу прямоугольного треугольника) по теореме Пифагора:

\(l^2 = h^2 + r^2\)
\(l^2 = 6^2 + 8^2\)
\(l^2 = 36 + 64\)
\(l^2 = 100\)
\(l = \sqrt{100}\)
\(l = 10\) см

Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса \(S_{бок}\) по формуле:

\(S_{бок} = \pi r l\)
\(S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 10\)
\(S_{бок} = 80\pi\) см²

Вычислим площадь основания конуса \(S_{осн}\) по формуле:

\(S_{осн} = \pi r^2\)
\(S_{осн} = \pi \cdot 8^2\)
\(S_{осн} = 64\pi\) см²

Площадь полной поверхности конуса \(S_{полн}\) равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}\)
\(S_{полн} = 80\pi + 64\pi\)
\(S_{полн} = 144\pi\) см²

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна \(80\pi\) см², площадь полной поверхности конуса равна \(144\pi\) см².