558 Прямые а и в пересечены параллельными прямыми АА BB1, CC1, причём точки А. ВИС лежат на прямой а, а точки А1, В1 и С1 — на прямой b. Докажите, что AB = A1B1 BC B1C1

Пусть даны параллельные прямые AA₁, BB₁, CC₁ и прямые a и b, пересекающие эти параллельные прямые в точках A, B, C и A₁, B₁, C₁ соответственно.

Докажем, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Проведем через точку B₁ прямую, параллельную прямой a. Пусть эта прямая пересекает прямые AA₁ в точке D, а прямую CC₁ в точке E.

Тогда A₁BD и B₁CE - параллелограммы.

Следовательно, A₁B₁ = BD и B₁C₁ = CE.

Рассмотрим углы: \(\angle BDA = \angle BAA_1\) как соответственные углы при параллельных прямых BD и AA₁ и секущей a.

Аналогично, \(\angle CEB_1 = \angle BCC_1\) как соответственные углы при параллельных прямых CE и CC₁ и секущей a.

Но так как AA₁, BB₁, CC₁ параллельны, то \(\angle BAA_1 = \angle BCC_1\).

Следовательно, \(\angle BDA = \angle CEB_1\).

Рассмотрим также углы \(\angle DBB_1\) и \(\angle ECB_1\).

\(\angle DBB_1 = 180^\circ - \angle ABB_1\) и \(\angle ECB_1 = 180^\circ - \angle BCB_1\).

Так как \(\angle ABB_1 = \angle BCB_1\) (соответственные углы при параллельных прямых), то \(\angle DBB_1 = \angle ECB_1\).

Таким образом, треугольники BDA и CEB₁ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует:

$$ \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{BC} $$

Так как A₁B₁ = BD и B₁C₁ = CE, то

$$ \frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{AB}{BC} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\)