558- Прямые а и в пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ1, СС1, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А1, В₁ и С1 — на прямой в. Докажите, что \frac{AB}{BC} = \frac{A1B1}{B1C1}.

Доказательство:

Пусть даны прямые a и b, пересечённые параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки A, B, C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой b.

Требуется доказать, что $$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.

По теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образованные на одной стороне угла, пропорциональны отрезкам, образованным на другой стороне угла.

Рассмотрим угол, образованный прямыми a и b. Прямые AA₁, BB₁, CC₁ параллельны. Значит, по теореме Фалеса:

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$$

Преобразуем это равенство, переставив местами BC и A₁B₁:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$

Таким образом, доказано, что $$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.

Ответ: Доказано