Пусть \( a \) — прямая, перпендикулярная плоскости \( \alpha \) и пересекающая ее в точке \( A \). Точка \( B \) находится на расстоянии 2 от прямой \( a \) и на расстоянии \( \sqrt{21} \) от плоскости \( \alpha \). Найдите расстояние от точки \( B \) до точки \( A \).

Решение:

Пусть \( C \) — проекция точки \( B \) на плоскость \( \alpha \). Тогда \( BC = \sqrt{21} \).

Расстояние от точки \( B \) до прямой \( a \) равно 2. Так как прямая \( a \) перпендикулярна плоскости \( \alpha \) в точке \( A \), то \( AC \) — это расстояние от проекции \( C \) до точки \( A \) на плоскости \( \alpha \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (где \( AC \) — катет, \( BC \) — катет, \( AB \) — гипотенуза) по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Нам известно, что расстояние от точки \( B \) до прямой \( a \) равно 2. Так как \( a \) проходит через \( A \) и перпендикулярна \( \alpha \), то \( AC \) равно 2.

\( AB^2 = 2^2 + (\sqrt{21})^2 \)

\( AB^2 = 4 + 21 \)

\( AB^2 = 25 \)

\( AB = \sqrt{25} = 5 \).

Ответ: 5