6. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $38\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, а - сторона квадрата. Известно, что $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, а $r = \frac{a}{2}$. Выразим сторону квадрата через R: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. Тогда $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. Подставим значение R: $r = \frac{38\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{38 \cdot 2}{2} = 38$. Ответ: 38