16. Радиус окружности с центром O равен 37, длина хорды AB равна 70. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной a, если a и AB расположены по разные стороны от центра окружности. Ответ:

Радиус окружности с центром O равен 37, длина хорды AB равна 70. Найдем расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной a, если a и AB расположены по разные стороны от центра окружности. Пусть O - центр окружности, AB - хорда, a - касательная, параллельная AB. Расстояние от хорды AB до центра O - это длина перпендикуляра OH, опущенного из O на AB. Т.к. OH - перпендикуляр, то H - середина AB. $$AH = \frac{1}{2}AB = 35$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OAH$$. $$OA = 37, AH = 35$$. По теореме Пифагора: $$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 37^2 - 35^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$$ $$OH = \sqrt{144} = 12$$ Расстояние от касательной a до центра O - это радиус окружности, равный 37. Т.к. AB и a расположены по разные стороны от центра окружности, то расстояние от хорды AB до касательной a равно $$OH + r = 12 + 37 = 49$$. Ответ: 49