Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен $$7\sqrt{3}$$ см. Найти периметр треугольника. Найти площадь треугольника.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности (R) связан со стороной (a) следующим соотношением: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Нам дано, что радиус описанной окружности равен $$7\sqrt{3}$$ см. Поэтому, $$7\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Чтобы найти сторону треугольника, умножим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$: $$a = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21$$ см.

Периметр правильного треугольника (P) равен сумме длин всех его сторон, т.е. $$P = 3a$$. В нашем случае: $$P = 3 \cdot 21 = 63$$ см.

Площадь правильного треугольника (S) можно найти по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. В нашем случае: $$S = \frac{21^2\sqrt{3}}{4} = \frac{441\sqrt{3}}{4}$$ см².

Ответ: Периметр треугольника равен 63 см, площадь треугольника равна $$\frac{441\sqrt{3}}{4}$$ см².