3. Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен $$5\sqrt{3}$$см. Найти периметр треугольника. Найти площадь треугольника.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности связан со стороной $$a$$ формулой $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$. Периметр $$P = 3a$$, а площадь $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Дано $$R = 5\sqrt{3}$$ см. Найдем сторону треугольника $$a$$: $$5\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ $$a = \frac{5\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 3 = 15$$ Теперь найдем периметр $$P$$: $$P = 3 \cdot 15 = 45$$ Теперь найдем площадь $$S$$: $$S = \frac{15^2\sqrt{3}}{4} = \frac{225\sqrt{3}}{4}$$ Ответ: Периметр треугольника равен 45 см, площадь треугольника равна $$\frac{225\sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$.