4. Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найдите площадь поверхности куба: a) 18; б) 54; в) 72; г) 36.

Пусть $$R$$ - радиус шара, описанного около куба, и $$R=3$$. Пусть $$a$$ - сторона куба. Тогда диагональ куба равна $$d = a\sqrt{3}$$. Диагональ куба равна диаметру описанного шара, т.е. $$d = 2R$$. Следовательно, $$a\sqrt{3} = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$. $$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$. Площадь поверхности куба равна $$S = 6a^2 = 6(2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$$. Ответ: в) 72.